如今，很难找到一个受过教育的人会对数学的美学魅力无动于衷。数学之美可能很难定义，但任何一种美的定义都是如此——我们可能不太清楚一首诗的美丽是指什么，但这并不妨碍我们在阅读时感受到它。
和画家或诗人一样，数学家也是模式的创造者。 如果说数学家创造的模式比前者的更持久，那是因为这些模式是由思想构成的。画家用形状和颜色创造样式，诗人用文字创造格律。一幅画中可能包含“思想”，但它的思想通常是老生常谈，并不怎么重要。在诗歌里，思想会更重要一些。但是，正如豪斯曼所坚持的那样，思想在诗歌中的重要性被习惯性地夸大了 :“我无法说服自己，存在一种叫诗歌的思想的东西。诗歌不在于它要表达的内容，而在于它表达的方式。”
任怒海所有的波涛
(相关资料图)
也不能涤除君王的尊荣。
这诗还能更棒吗？会不会忽然觉得它的思想陈腐而不堪一击呢？思想上的匮乏似乎很难影响到语言的形式之美。然而，数学家除了思想没有别的素材，所以他们创造的模式或许更持久，因为思想比文字更经得起时间的打磨。
同画家和诗人的模式一样，数学家的模式必定是美的。 与色彩和文字相同，思想也必然会以某种和谐的方式组合。美是首要的试金石： 丑陋的数学不可能永存。 在这里，我必须纠正一个至今仍普遍流传的误解（尽管现在可能已经比 20 年前好了许多），这就是怀特海所谓的“文人般的执迷”，即认为对数学审美的热爱“在每一代人里都只是少数怪人的偏执”。
如今，很难找到一个受过教育的人会对数学的美学魅力无动于衷。数学之美可能很难定义，但任何一种美的定义都是如此——我们可能不太清楚一首诗的美丽是指什么，但这并不妨碍我们在阅读时感受到它。甚至连霍格本教授也不敢冒风险否认这个事实，虽然他不惜一切代价地想把数学里美学元素的重要性降到最低。“可以肯定的是，数学对某些人具有一种冷峻客观的吸引力……数学的美学魅力对少数人来说可能是真实存在的。”他又提到，但这种人“很少”，并且感觉“冷冰冰的”（他们真的是相当可笑的一群人，蜗在所谓的大学城里，远离外面开放世界的清新微风）。在这一点上，他只不过是在重复怀特海的“文人般的执迷”。
事实上，几乎没有比数学更“大众化”的学科。 大多数人都对数学有一定的鉴赏能力，就像大多数人都能欣赏悦耳的曲调一样。对数学感兴趣的人可能比对音乐感兴趣的人还要多。尽管表面看起来并非如此，但这很好解释。音乐可以牵动大众的情感，但数学不能；音乐上的无感会让人觉得有些丢人（这毫无疑问是对的），然而 大多数人看到数学这个词就会感到非常害怕， 以至于下意识地做好了夸大自己在数学上无知的准备。
只要稍加反思，就足以戳穿“文人般的执迷”的荒谬。在每一个文明国家里，都有许多国际象棋棋手——比如在俄罗斯，几乎所有受过教育的人都会下棋；每位棋手都能分辨并欣赏那些“漂亮”的对弈或难题。然而，每个国际象棋难题只不过是纯数学里的一道练习题（对弈包含了心理因素，因此不完全一样），所有认为某个国际象棋难题“漂亮”的人，都是在称赞数学之美，哪怕它只是一种层次相对较低的美。国际象棋难题都是为数学写的赞美诗。
就更通俗、更广泛的程度而言，从桥牌（或者大众更加喜闻乐见的流行报纸上的字谜专栏游戏）里，也能得到同样的结论。这些游戏之所以广受欢迎，几乎都仰仗基础数学的吸引力，而像杜德尼或“卡利班”这样的益智游戏制作高手，也很少涉及其他领域的知识。 他们知道自己该做什么：公众想要的只不过是在智力上得到一点“刺激”，而数学是最合适的。
我还可以补充一点，世界上没有什么比发现或再次发现一个真正的数学定理更能让名人们（以及那些曾经大肆贬低数学的人）高兴了。赫伯特 • 斯宾塞在他的自传中重新发表了一个关于圆的定理，那是他在 20 岁时证明的（他并不知道柏拉图在 2000 多年前就已经证明过了）。而最近更著名的例子，则要算是索迪教授（不过，他的定理确实是他自己发现的）。
国际象棋难题是真正的数学，但它在某种程度上只是“平凡的”数学。无论落子多么巧妙、多么复杂、多么独特、多么奇谲，它都是先天不足的。国际象棋难题不重要。 最好的数学不仅是美丽的，而且是严肃的 ——如果你喜欢，也可以说它是“重要的”，但这个词很含糊，而“严肃”更能表达我的意思。
我没有讨论数学的“实用”效果，这个问题我们稍后再做讨论。眼下我想说的是，粗略地说，如果一个国际象棋难题是“无用的”，那么多数最棒的数学也一样。只有微乎其微的数学知识在实践中是有用的，同时它们也比较无趣。一个数学定理的“严肃性”，是由和它相关的数学思想的重要性体现的，而不是它能有什么实用效果，这些效果通常可以忽略不计。大致说来，如果某个数学思想能够以一种自然而富有启发性的方式和大量其他数学思想联系起来，那么它就是“重要的”。因此，一个严肃的数学定理，即一个和重要思想有关联的定理，很可能会使数学本身，甚至其他科学取得重要的进展。没有一个国际象棋难题影响过科学的发展，但毕达哥拉斯、牛顿和爱因斯坦在他们所处的时代里，改变了整个科学发展的方向。
定理的严肃性当然不依赖于它的结果，这些结果只不过是证明定理严肃性的证据。莎士比亚对英语发展有着巨大的影响，而奥特韦则几乎什么影响也没有，然而这并不是莎士比亚被认为是更优秀的诗人的原因。他之所以更优秀，是因为他写的诗更出色。就像奥特韦的诗歌一样，国际象棋难题的不足，不在于结果而在于其自身。
还有一个观点我想一笔带过，不是因为它无趣，而是因为有难度，并且我也没资格在美学方面做任何严肃的讨论。数学定理的美在很大程度上取决于它的严肃性，甚至诗歌里的诗句之美在某种程度上也是由其蕴含的思想决定的。我引用过莎士比亚的两行诗，作为语言格律的纯粹之美的例子，但是下面这行诗似乎更美： 历经癫狂人生，现睡意正酣。
这行诗的格律很棒，而且思想有意义，论点也合理，正因为如此，我们的情感才会产生出更深刻的共鸣。思想对模式而言很重要（哪怕是在诗歌里），数学更是如此。但我无法严肃地讨论这个问题。
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